Сколько параллельных прямых в геометрии Лобачевского

Все мы слышали про параллельные прямые. Сначала нас учат, что они никогда не пересекаются, а потом где-то на факультативах в районе старших классов тихо добавляют, что из этого правила бывают исключения. Например, в геометрии, придуманной нашим соотечественником Николаем Лобачевским. Так ли это на самом деле, как вообще это возможно и при чем здесь Эйнштейн — разобрались вместе с редакцией научно-популярного портала «Чердак».

Что не так с пятым постулатом

Более 2300 лет назад древнегреческий математик Евклид собрал все имевшиеся до него знания о геометрии в одну большую книгу — «Начала». Именно в ней содержались знаменитые пять постулатов — недоказуемые утверждения, на фундаменте которых возводились все дальнейшие рассуждения и теоремы.

Первые четыре постулата были лаконичны и стройны. В их истинности, наверное, никто не сомневался за всю историю мира, но пятый постулат звучал гораздо более запутанно и мало напоминал неоспоримую истину.

Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых

пятый постулат геометрии Евклида

Это утверждение в разных формулировках (самая распространенная из них гласит, что в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной) пытались доказать десятки математиков, но все они втягивались в одну и ту же историю. Их доказательства упирались в утверждения, доказать которые без самого пятого постулата было абсолютно невозможно.

Лобачевского пятый постулат смущал не столько своей неаккуратностью, сколько философской нагрузкой: он поселял материю в какое-то застывшее абсолютное пространство. Твердый материалист, он не мог принимать исключительно на веру, что параллельные прямые не пересекаются где-нибудь в бесконечности космоса. Ученый обратился к доказательству от противного. Он попробовал заменить пятый постулат на его зеркальное отражение («Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие ее»). Лобачевский ждал, не появится ли во всей системе геометрических теорем внутренних противоречий, косвенно указывающих на то, что изначальная версия пятого постулата — была все-таки неизбежно верна в нашем пространстве? Но такого не случилось — противоречий не нашлось.

7 февраля 1826 года (по старому стилю) Лобачевский представил перед ученой комиссией Казанского университета свой труд — «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных».

Геометрия новая — проблемы старые 

Доклад Лобачевского от 7 февраля провалился.

Незадолго до выступления новый император Николай I сместил Михаила Магницкого с должности попечителя Казанского университета, и все члены комиссии думали, как это повлияет на их жизнь, и почти не обращали внимания на странноватого математика, рассказывавшего на французском о какой-то инопланетной геометрии. Дальше рукопись была отдана на рецензию некоторым членам комиссии, но они, видимо, просто позабыли о ней, и сам доклад так и не был одобрен к публикации. Тогда вся геометрия Лобачевского могла навсегда остаться внутри его головы, если бы не одна неожиданность: новым ректором университета вскоре был избран именно он. Вряд ли у Лобачевского стало после этого меньше работы и больше сил, но постепенно он оформил свои идеи в законченный труд «О началах геометрии», который сначала напечатали в журнале «Казанский вестник», а потом представили на отзыв в Академию наук, где рецензия досталась одному из самых сильных русских математиков того времени — Михаилу Остроградскому.

Автор, по-видимому, задался целью написать таким образом, чтобы его нельзя было понять. Он достиг этой цели; большая часть книги осталась столь же неизвестной для меня, как если бы я никогда не видел ее…

Михаил Остроградский
академик Санкт-Петербургской академии наук

Новая геометрия остается непонятной. Блуждание продолжается.

Позже Лобачевский публиковал свои труды в европейских журналах, где их заметил великий немец Гаусс, который сам не один год втайне ото всех занимался неевклидовой геометрией. Чтобы лучше понять казанского ученого, он оперативно выучил русский и потом, впечатленный смелостью и ясностью мыслей Лобачевского, выдвинул того в члены-корреспонденты Геттингенского королевского научного общества. Признание встречает своего гения, хотя на родине Остроградский и люди его окружения раз за разом отклоняют все работы по неевклидой геометрии вплоть до самой смерти Лобачевского в 1856 году.

Отложенное признание

Проходит 12—15 лет, и математики находят сразу несколько реальных моделей, в которых работает именно геометрия Лобачевского. В самой простой из них, проективной, за плоскость принимают внутренность круга, а за прямую — его хорду. В результате тот факт, что через одну точку, лежащую внутри круга, можно провести сколько угодно хорд, не пересекающихся с одной фиксированной хордой, автоматически становится иллюстрацией пятого начала геометрии Лобачевского.

Тест

Что и требовалось доказать: 10 вопросов на знание математики

Пройти тест

В 1868 году выходит доклад Римана — другого первопроходца с другой неевклидовой геометрией, в которой через каждую точку в пространстве уже невозможно провести ни одной параллельной прямой, и математикам постепенно становится понятно, что геометрии Римана и Лобачевского — невероятно похожие шаги влево и вправо от привычной евклидовой геометрии. Первая работает на поверхностях с положительной кривизной — вроде шаров, а вторая — на поверхностях с отрицательной кривизной — вроде гиперболоидов или седел.

Еще чуть позже, в начале XX века, новая геометрия наконец встретится с физикой. Эйнштейн сформулирует свою общую теорию относительности в терминах геометрии Римана, и мысли людей, привыкшие ходить по одним и тем же параллельным рельсам, откроют новые маршруты: пространство и время не абсолютны. Движение меняет геометрию. А тысячелетние аксиомы не всегда верны.

Михаил Петров

Полную версию материала читайте на сайте научно-популярного портала «Чердак».

{{item.group_date}}

По материалам: ТАСС.RU

About The Author

Быть в курсе новостей.

Похожие материалы

Оставить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *